Yaşar Eryılmaz, 10 Haziran 1944'te Ağrı'nın Doğubayazıt ilçesinde doğdu. Babası Rıza, annesi Saime'dir. Yükseköğrenimini İstanbul Üniversitesi Tıp Fakültesi'nde tamamlayan Eryılmaz, 1972 yılında üroloji uzmanı oldu.
Meslek hayatına hekim olarak başlayan Yaşar Eryılmaz, Elazığ ve Erzurum SSK hastanelerinde üroloji uzmanı olarak görev yaptı. 1980 yılında ABD'nin New York kentindeki Albert Einstein College Montefiore Hastanesi'nde bilimsel araştırmalarda bulundu. 1983'te üroloji doçenti unvanını aldı. Atatürk Üniversitesi Tıp Fakültesi'nde öğretim üyesi olarak görev yapan Eryılmaz, aynı fakültede dekan yardımcılığı ve Araştırma Hastanesi başhekimliği görevlerinde bulundu.
Siyasi hayatına 1987 genel seçimlerinde başlayan Eryılmaz, dönemin başbakanı Turgut Özal'ın davetiyle Anavatan Partisi'nden Ağrı Milletvekili adayı oldu ve seçildi. 18, 19, 20 ve 21. yasama dönemlerinde TBMM'de Ağrı Milletvekili olarak görev yaptı.
Yaşar Eryılmaz, 23 Haziran 1991'de kurulan 48. Türkiye Hükûmeti'nde, Mesut Yılmaz başkanlığındaki kabinede Sağlık Bakanı olarak görevlendirildi. Bu görevini 20 Kasım 1991'e kadar sürdüren Eryılmaz, bakanlık görevini Yıldırım Aktuna'ya devretti.
2007 genel seçimlerinde Adalet ve Kalkınma Partisi listesinden 23. Dönem Ağrı Milletvekili olarak yeniden TBMM'ye giren Eryılmaz, bu dönemde sağlık politikalarına yönelik çalışmalarda yer aldı.
Evli ve iki çocuk babası olan Yaşar Eryılmaz, bir süre tedavi gördüğü Ankara'daki hastanede 8 Ağustos 2021'de hayatını kaybetti. Eryılmaz, vefat ettiğinde 77 yaşındaydı.
